试题

题目：
青果学院如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanB=
1
2
，O是边BC上的一点，且CO=3．以点O为圆心的圆经过点A与AB交于点D，求⊙O的半径和AD的长？
答案
青果学院解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanB=
1
2
，
∴AC=6，AB=6
5
（2分）
连接OA，在Rt△AOC中，∠C=90°，CO=3，
∴OA=3
5
．即⊙O的半径为3
5
（2分）
过O点作OE⊥AB于E，得△BOE∽△BAC
∴
OE
AC
=
OB
AB
，
OE
6
=
9
6
5
，OE=
9
5
5
（2分）
∴在Rt△AOE中，∠AEO=90°，
AE=
OA2-OE2
=
(3
5
)2-(
9
5
5
)2
=
12
5
5
（2分）
∵OE⊥AB，点O是圆心
∴AD=2AE=
24
5
5
．（2分）
青果学院解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanB=
1
2
，
∴AC=6，AB=6
5
（2分）
连接OA，在Rt△AOC中，∠C=90°，CO=3，
∴OA=3
5
．即⊙O的半径为3
5
（2分）
过O点作OE⊥AB于E，得△BOE∽△BAC
∴
OE
AC
=
OB
AB
，
OE
6
=
9
6
5
，OE=
9
5
5
（2分）
∴在Rt△AOE中，∠AEO=90°，
AE=
OA2-OE2
=
(3
5
)2-(
9
5
5
)2
=
12
5
5
（2分）
∵OE⊥AB，点O是圆心
∴AD=2AE=
24
5
5
．（2分）
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．
连接OA，过O点作OE⊥AB于E，根据题意可得AC、AB的长度，根据勾股定理，可得OA的长度，即半径的长度；通过做OE⊥AB，即可推出△BOE∽△BAC，求出OE的长度，然后在△AOE中，即可推出AE的长度，最可，通过垂径定理可推出AD的长度．
本题主要考查解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定和性质，关键在于作辅助线OA、OE．
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