试题

如图，四边形ABCD是正方形，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁；…；按这样的规律作下去，第2011个正方形的面积为（　　）
A．5（

3

2

）²⁰¹⁰
B．5（

9

4

）²⁰¹⁰
C．5（

3

2

）²⁰¹¹
D．5（

9

4

）²⁰¹¹

B
解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，
∴∠ABA₁=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
又∵是坐标平面内，∴∠DAO+∠ADO=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
在△AOD和A₁BA中，

∠AOD=∠ABA1=90° ∠ADO=∠BAA1

，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴

OD

AO

=

AB

A1B

=2，
∴BC=2A₁B，
∴A₁C=

3

2

BC，
以此类推A₂C₁=

3

2

A₁C，A₃C₂=

3

2

A₂C₁，…，
即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的

3

2

倍，
∴第2011个正方形的边长为（

3

2

）²⁰¹⁰BC，
∵A的坐标为（1，0），D点坐标为（0，2），
∴BC=AD=

12+22

=

5

，
∴第2011个正方形的面积为[（

3

2

）²⁰¹⁰BC]²=5（

3

2

）⁴⁰²⁰=5（

9

4

）²⁰¹⁰．
故选B．