试题

题目：
青果学院如图，△ABC中，AB=AC，∠B的平分线交AC于D，且BC=BD=AD，则
CD
BC
的值为
5
-1
2
5
-1
2
．
答案
5
-1
2

解：设
CD
BC
=
CD
AD
=x，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BC=BD=AD，BD的平分∠ABC，
∴∠A=∠ABD=∠DBC，∠C=∠BDC=∠ABC，
∴∠ABC=2∠A，∠C=2∠A，
∴∠A=∠ABD=∠DBC=36°，∠C=∠BDC=∠ABC=72°，
∵∠ABC=∠C=∠BDC，
∴△BCD∽△ABC．
∴
BC
CD
=
AC
BC
，
又BC=BD=AD，
∴AD2=AC·DC．
∵AD2=AC·DC，
CD
BC
=
CD
AD
=x，AC=AD+CD，
∴AD2=（AD+CD）·CD，
AD2=（AD+x·AD）·x·AD，
x（1+x）=1，
x2+x-1=0，
x=
-1±
5
2
（负值舍去）．
即x=
-1+
5
2
，
故答案为
5
-1
2
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
由AB=AC，推出∠ABC=∠ACB，再由BC=BD=AD，∠ABC平分∠B，即可推出∠A=∠ABD=∠DBC，∠C=∠BDC=∠ABC，可求得∠ABC=2∠A，∠C=2∠A，然后根据三角形内角和定理即可推出∠A=∠ABD=∠DBC=36°，∠C=∠BDC=∠ABC=72°，求出
BC
AB
=
5
-1
2
，通过求证△BDC∽△ABC，推出
CD
BC
=
BC
AB
．
本题主要考查顶角为36°角的等腰三角形的特殊性质，相似三角形的判定及性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键熟练掌握相关的性质定理，推出∠A=∠ABD=∠DBC=36°，∠C=∠BDC=∠ABC=72°，
BC
AB
=
5
-1
2
．
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