试题

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=

4

5

，AC=4；D是BC的延长线上的一个动点，∠EDA=∠B，AE∥BC．
（1）找出图中的相似三角形，并加以证明；
（2）设CD=x，AE=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当△ADE为等腰三角形时，求AE的长．

解：（1）△ADE∽△DBA，理由为：
证明：∵AE∥BC，
∴∠EAD=∠ADB，
∵∠EDA=∠B，
∴△ADE∽△DBA；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=

4

5

，AC=4，
∴AB=

AC

sinB

=5，
∴BC=

AB2-AC2

=3，
∵△ADE∽△DBA，
∴

AE

DA

=

AD

DB

，
设CD=x，AE=y，
则BD=BC+CD=3+x，AD=

AC2+CD2

=

x2+16

，
∴

y

x2+16

=

x2+16

x+3

，
∴y=

1

x+3

（x²+16）（x＞0）；
（3）分三种情况考虑：
当△ADE为等腰三角形，且AE=AD时，如图所示：

∵△ADE∽△DBA，
∴△DBA也为等腰三角形，即DB=DA，此时四边形ABDE为平行四边形，
设AE=AD=BD=x，则有CD=BD-BC=x-3，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD²=AC²+CD²，即x²=4²+（x-3）²，
解得：x=

25

6

，
此时AE=

25

6

；
当△ADE为等腰三角形，且AE=DE时，如图所示：

∵△ADE∽△DBA，
∴AD=AB=5，
在Rt△ACD中，AC=4，AD=5，
根据勾股定理得：CD=3，
故BD=BC+CD=3+3=6，
∴

AE

AD

=

AD

BD

，即

AE

5

=

5

6

，
解得：AE=

25

6

；
当△ADE为等腰三角形，且AD=DE时，如图所示：

∵△ADE∽△DBA，
∴BD=AB=5，
故CD=BD-BC=5-3=2，
在Rt△ACD中，AC=4，CD=2，
根据勾股定理得：AD=2

5

，
∴

AE

AD

=

AD

BD

，即

AE

2 5

=

2 5

5

，
解得：AE=4，
综上，AE的值为4或

25

6

．
解：（1）△ADE∽△DBA，理由为：
证明：∵AE∥BC，
∴∠EAD=∠ADB，
∵∠EDA=∠B，
∴△ADE∽△DBA；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=

4

5

，AC=4，
∴AB=

AC

sinB

=5，
∴BC=

AB2-AC2

=3，
∵△ADE∽△DBA，
∴

AE

DA

=

AD

DB

，
设CD=x，AE=y，
则BD=BC+CD=3+x，AD=

AC2+CD2

=

x2+16

，
∴

y

x2+16

=

x2+16

x+3

，
∴y=

1

x+3

（x²+16）（x＞0）；
（3）分三种情况考虑：
当△ADE为等腰三角形，且AE=AD时，如图所示：

∵△ADE∽△DBA，
∴△DBA也为等腰三角形，即DB=DA，此时四边形ABDE为平行四边形，
设AE=AD=BD=x，则有CD=BD-BC=x-3，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD²=AC²+CD²，即x²=4²+（x-3）²，
解得：x=

25

6

，
此时AE=

25

6

；
当△ADE为等腰三角形，且AE=DE时，如图所示：

∵△ADE∽△DBA，
∴AD=AB=5，
在Rt△ACD中，AC=4，AD=5，
根据勾股定理得：CD=3，
故BD=BC+CD=3+3=6，
∴

AE

AD

=

AD

BD

，即

AE

5

=

5

6

，
解得：AE=

25

6

；
当△ADE为等腰三角形，且AD=DE时，如图所示：

∵△ADE∽△DBA，
∴BD=AB=5，
故CD=BD-BC=5-3=2，
在Rt△ACD中，AC=4，CD=2，
根据勾股定理得：AD=2

5

，
∴

AE

AD

=

AD

BD

，即

AE

2 5

=

2 5

5

，
解得：AE=4，
综上，AE的值为4或

25

6

．