试题

如图，已知等腰△ABC中，AB=AC=2，点D在边BC的反向延长线上，且DB=3，点E在边BC的延长线上，且∠EAC=∠D，设AD=x，BC=y．
（1）求线段CE的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当AC平分∠BAE时，求线段AD的长．

解（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠EAC=∠D，
∴△DBA∽△ACE，
∴

DB

AC

=

AB

CE

，
∵AB=AC=2，DB=3
∴

3

2

=

2

CE

∴CE=

4

3

；

（2）∵△DBA∽△ACE，
∴

AD

AE

=

AB

CE

，
∵AD=x，AB=2，CE=

4

3

，
∴AE=

2

3

x．
∵∠EAC=∠D，∠E=∠E，
∴△EAC∽△EDA，
∴

AC

AD

=

EA

ED

．
∵BC=y，
∴ED=DB+BC+CE=

13

3

+y，
∴

2

x

=

2 3 x

13 3 +y

，
∴y=

1

3

x2-

13

3

．
根据三角形的三边关系可以得出：
0＜y＜4，
∴0＜

1

3

x2-

13

3

＜4，
∴

13

＜x＜5．

（3）∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC=∠CAB．
∵∠EAC=∠D，
∴∠CAB=∠D．
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CAB∽△CDA，
∴

CA

CD

=

AB

DA

，
∴

2

3+y

=

2

x

，
即3+

1

3

x2-

13

3

=x，
解得x₁=4，x₂=-1（舍去），
即AD=4．
解（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠EAC=∠D，
∴△DBA∽△ACE，
∴

DB

AC

=

AB

CE

，
∵AB=AC=2，DB=3
∴

3

2

=

2

CE

∴CE=

4

3

；

（2）∵△DBA∽△ACE，
∴

AD

AE

=

AB

CE

，
∵AD=x，AB=2，CE=

4

3

，
∴AE=

2

3

x．
∵∠EAC=∠D，∠E=∠E，
∴△EAC∽△EDA，
∴

AC

AD

=

EA

ED

．
∵BC=y，
∴ED=DB+BC+CE=

13

3

+y，
∴

2

x

=

2 3 x

13 3 +y

，
∴y=

1

3

x2-

13

3

．
根据三角形的三边关系可以得出：
0＜y＜4，
∴0＜

1

3

x2-

13

3

＜4，
∴

13

＜x＜5．

（3）∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC=∠CAB．
∵∠EAC=∠D，
∴∠CAB=∠D．
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CAB∽△CDA，
∴

CA

CD

=

AB

DA

，
∴

2

3+y

=

2

x

，
即3+

1

3

x2-

13

3

=x，
解得x₁=4，x₂=-1（舍去），
即AD=4．