试题

如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=AC，过点B作射线BP交AD，AC分别于E，F两点，与过点C平行于AB的直线交于点P．
（1）求证：EB²=EF·EP；
（2）若过点B的射线交AD，AC的延长线分别于E，F两点，与过点C的平行于AB的直线交于点P，则结论（1）是否成立？若成立，请说明理由．

（1）证明：连接CE，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠ABC=∠ACD，
∴EB=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ECB，
即∠1=∠2，
∵AB∥PC，
∴∠1=∠P，
∴∠2=∠P，
∵∠3是公共角，
∴△EFC∽△ECP，
∴

EC

EP

=

EF

EC

，
∵EC=EB，
∴EB²=EF·EP；

（2）连接CE，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠ABC=∠ACD，
∴EB=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠ABC+∠EBC=∠ACB+∠ECB，
即∠ABE=∠ACE，
∵AB∥PC，
∴∠ABE=∠CPF，
∴∠ACE=∠CPF，
∵∠F=∠ACE-∠1，∠PCE=∠CPF-∠1，
∴∠PCE=∠F，
∵∠1是公共角，
∴△EFC∽△ECP，
∴

EC

EP

=

EF

EC

，
∵EC=EB，
∴EB²=EF·EP．
（1）证明：连接CE，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠ABC=∠ACD，
∴EB=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ECB，
即∠1=∠2，
∵AB∥PC，
∴∠1=∠P，
∴∠2=∠P，
∵∠3是公共角，
∴△EFC∽△ECP，
∴

EC

EP

=

EF

EC

，
∵EC=EB，
∴EB²=EF·EP；

（2）连接CE，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠ABC=∠ACD，
∴EB=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠ABC+∠EBC=∠ACB+∠ECB，
即∠ABE=∠ACE，
∵AB∥PC，
∴∠ABE=∠CPF，
∴∠ACE=∠CPF，
∵∠F=∠ACE-∠1，∠PCE=∠CPF-∠1，
∴∠PCE=∠F，
∵∠1是公共角，
∴△EFC∽△ECP，
∴

EC

EP

=

EF

EC

，
∵EC=EB，
∴EB²=EF·EP．