试题

（2009·鄂州）如图所示．某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造．已知△ABC的边BC长120米，高AD长80米．学校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分（如图）．其中矩形EFGH的一边EF在边BC上．其余两个顶点H、G分别在边AB、AC上．现计划在△AHG上种草，每平方米投资6元；在△BHE、△FCG上都种花，每平方米投资10元；在矩形EFGH上兴建爱心鱼池，每平方米投资4元．
（1）当FG长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？
（2）当矩形EFGH的边FG为多少米时，△ABC空地改造总投资最小，最小值为多少？

解：（1）设FG=x米，则AK=（80-x）米．
由△AHG∽△ABC，BC=120，AD=80，可得：

HG

120

=

80-x

80

，
∴HG=120-

3

2

x，
BE+FC=120-（120-

3

2

x）=

3

2

x，（2分）
∴

1

2

·（120-

3

2

x）·（80-x）=

1

2

×

3

2

x·x，
解得x=40．
∴当FG的长为40米时，种草的面积和种花的面积相等．（5分）

（2）设改造后的总投资为W元．
则W=

1

2

·（120-

3

2

x）·（80-x）·6+

1

2

×

3

2

x·x·10+x（120-

3

2

x）·4
=6x²-240x+28800
=6（x-20）²+26400
∵二次项系数6＞0，0＜x≤80，
∴当x=20时，W_最小=26400．
答：当矩形EFGH的边FG长为20米时，空地改造的总投资最小，最小值为26400元．（8分）
解：（1）设FG=x米，则AK=（80-x）米．
由△AHG∽△ABC，BC=120，AD=80，可得：

HG

120

=

80-x

80

，
∴HG=120-

3

2

x，
BE+FC=120-（120-

3

2

x）=

3

2

x，（2分）
∴

1

2

·（120-

3

2

x）·（80-x）=

1

2

×

3

2

x·x，
解得x=40．
∴当FG的长为40米时，种草的面积和种花的面积相等．（5分）

（2）设改造后的总投资为W元．
则W=

1

2

·（120-

3

2

x）·（80-x）·6+

1

2

×

3

2

x·x·10+x（120-

3

2

x）·4
=6x²-240x+28800
=6（x-20）²+26400
∵二次项系数6＞0，0＜x≤80，
∴当x=20时，W_最小=26400．
答：当矩形EFGH的边FG长为20米时，空地改造的总投资最小，最小值为26400元．（8分）