试题

题目：
青果学院如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长．
答案
解：（1）∵ED∥AC，
∴△BED∽△BAC，
设正方形CDEF的边长为x，则有
x
4
=
3-x
3
，青果学院
解得x=
12
7
cm；

（2）∵SR∥AB，
∴△CSR∽△CBA，
设正方形PQRS的边长为y，作CN⊥NB于N交RS于M，而知CN=
12
5
cm，
同样有
12
5
-y
12
5
=
y
5
，
解得y=
60
37
（cm），
x-y=
12
7
-
60
37
=
444-420
7×37
＞0，故x＞y，
∴面积达最大的正方形不锈钢片的边长为
12
7
cm．
解：（1）∵ED∥AC，
∴△BED∽△BAC，
设正方形CDEF的边长为x，则有
x
4
=
3-x
3
，青果学院
解得x=
12
7
cm；

（2）∵SR∥AB，
∴△CSR∽△CBA，
设正方形PQRS的边长为y，作CN⊥NB于N交RS于M，而知CN=
12
5
cm，
同样有
12
5
-y
12
5
=
y
5
，
解得y=
60
37
（cm），
x-y=
12
7
-
60
37
=
444-420
7×37
＞0，故x＞y，
∴面积达最大的正方形不锈钢片的边长为
12
7
cm．
考点梳理
相似三角形的应用．
要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在△ABC的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出．
当正方形两边在直角三角形上时，易得△BED∽△BAC，利用对应边成比例可得正方形的边长；
当正方形的一边在直角三角形上时，易得△CSR∽△CAB，利用对应边的比等于对应高的比可得正方形的边长，比较即可．
考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比．
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