试题

如图甲，MN是平行四边形ABCD外的一条直线，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′为垂足．对角线AC与BD相交于O点，O′是B′D′的中点．
（1）求证：OO′是梯形AA′C′C的中位线．
（2）求证：AA′+CC′=BB′+DD′．
（3）若直线MN向上移动，使点C在直线一侧，A、B、D在直线另一侧（如图乙），则垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系？写出你的猜想并证明．

（1）证明：∵O是BD中点，O'是B'D'的中点，
∴OO'是梯形BB'D'D的中位线，
又∵BB'⊥MN，DD'⊥MN，
∴OO'∥BB'∥AA'∥CC'∥DD'，
∵OA=OC，
∴A′O′=C′O′（一组平行线在一条直线上截的线段相等，那么在其它直线上截的线段也相等），即点O′是线段A′C′的中点，
∴OO′是梯形AA′C′C的中位线；

（2）由（1）得：OO'是梯形BB'D'D的中位线，OO′是梯形AA′C′C的中位线，
∴OO′=

1

2

（BB′+DD′），OO′=

1

2

（AA′+CC′），
∴AA′+CC′=BB′+DD′．
∴

1

2

（BB′+DD′）=

1

2

（AA′+CC′），即AA'+CC'=BB'+DD'；

（3）AA'=BB'+CC'+DD'．垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间的关系是AA′=BB′+CC′+DD′，
证明：延长C′O交AA′于E，
由（1）知：AA′∥OO′∥CC′，
∴∠OAE=∠OCC′，∠OEA=∠OC′C，
∵OA=OC，
∴△AEO≌△OC′C，
∴EO=C′O，
∵OO′∥AA′，
∴A′O′=O′C′，
即OO′是△C′A′E的中位线，
∴OO′=

1

2

A′E=

1

2

（AA′-CC′），
由（1）知：OO′=

1

2

（BB′+DD′），
∴AA′-CC′=BB′+DD′，
即AA′=BB′+CC′+DD′．
（1）证明：∵O是BD中点，O'是B'D'的中点，
∴OO'是梯形BB'D'D的中位线，
又∵BB'⊥MN，DD'⊥MN，
∴OO'∥BB'∥AA'∥CC'∥DD'，
∵OA=OC，
∴A′O′=C′O′（一组平行线在一条直线上截的线段相等，那么在其它直线上截的线段也相等），即点O′是线段A′C′的中点，
∴OO′是梯形AA′C′C的中位线；

（2）由（1）得：OO'是梯形BB'D'D的中位线，OO′是梯形AA′C′C的中位线，
∴OO′=

1

2

（BB′+DD′），OO′=

1

2

（AA′+CC′），
∴AA′+CC′=BB′+DD′．
∴

1

2

（BB′+DD′）=

1

2

（AA′+CC′），即AA'+CC'=BB'+DD'；

（3）AA'=BB'+CC'+DD'．垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间的关系是AA′=BB′+CC′+DD′，
证明：延长C′O交AA′于E，
由（1）知：AA′∥OO′∥CC′，
∴∠OAE=∠OCC′，∠OEA=∠OC′C，
∵OA=OC，
∴△AEO≌△OC′C，
∴EO=C′O，
∵OO′∥AA′，
∴A′O′=O′C′，
即OO′是△C′A′E的中位线，
∴OO′=

1

2

A′E=

1

2

（AA′-CC′），
由（1）知：OO′=

1

2

（BB′+DD′），
∴AA′-CC′=BB′+DD′，
即AA′=BB′+CC′+DD′．