试题

题目：
青果学院如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线AC平分∠BAD，∠B=60°，CD=3，求梯形中位线的长．
答案
解：∵四边形ABCD是等腰梯形，∠B=60°，
∴∠BAD=∠B=60°，AD=BC，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=30°，
∴∠ACB=90°，
又∵AB∥DC，
∴∠ACD=∠BAC，
∴∠ACD=∠DAC，
∴DC=AD=3，
∴BC=AD=3，
在Rt△ACB中，∵∠BAC=30°，
∴AB=2BC=6，
∴所求中位线的长是
1
2
（AB+DC）=
1
2
（6+3）=4.5．
解：∵四边形ABCD是等腰梯形，∠B=60°，
∴∠BAD=∠B=60°，AD=BC，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=30°，
∴∠ACB=90°，
又∵AB∥DC，
∴∠ACD=∠BAC，
∴∠ACD=∠DAC，
∴DC=AD=3，
∴BC=AD=3，
在Rt△ACB中，∵∠BAC=30°，
∴AB=2BC=6，
∴所求中位线的长是
1
2
（AB+DC）=
1
2
（6+3）=4.5．
考点梳理
等腰梯形的性质；梯形中位线定理．
由在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=60°，即可求得∠DAB的度数，又由对角线AC平分∠BAD，易求得∠ACB=90°，然后可证得△ADC是等腰三角形，继而求得CD与AB的长，又由梯形中位线的性质，求得答案．
此题考查了等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、梯形中位线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
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