试题

（2013·雨花台区一模）我们曾经历过探索梯形中位线性质的过程，在得到梯形中位线性质的同时也积累了许多活动经验．请利用这些经验试着解决以下问题：

问题一、如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE=

1

3

AB，DF=

1

3

DC，若AD=4，BC=12，则EF=．
问题二、如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，F为BC边上一点，AE平分∠DAF，且点E为DC的中点，若AF=BF=6.5cm，AB=5cm，求梯形ABCD的面积．
问题三、如图3，在矩形ABCD中，F为BC边上一点，AE平分∠DAF，且点E为DC的中点，若AD=a，FC=b．请用含有a，b的代数式表示CD的长．

解：问题一、如图1，连接AC，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AE=

1

3

AB，DF=

1

3

DC，
AD=4，BC=12，
∴

AE

AB

=

EM

BC

，

FC

CD

=

FM

AD

，
∴

1

3

=

EM

12

，

2

3

=

FM

4

，
解得：ME=4，FM=

8

3

，
则EF=4+

8

3

=

20

3

；

问题二、如图2，过点F作FN⊥AB于点N，连接EN，过点A作AG⊥BF于点G，
∵AF=BF=6.5cm，FN⊥AB，
∴AN=BN，
∵点E为DC的中点，
∴NE是梯形ABCD的中位线，
∴NE∥AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEM，
此时NM=

1

2

BF=

1

2

×6.5，AM=MF，
∵AE平分∠DAF，
∴∠DAE=∠EAF，
∴∠AEM=∠EAF，
∴AM=ME=

1

2

AF=

1

2

×6.5，
∴NE=MN+ME=6.5，
∵AN=BN=2.5，BF=6.5，
解得：FN=6，
∴AG×BF=FN×AB，
则6.5AG=6×5，
解得：AG=

60

13

，
∴梯形ABCD的面积为：AG×NE=6.5×

60

13

=30；

问题三、如图3，过点E作NE∥AD于点N交AF于点M，
∵AE平分∠DAF，
∴∠DAE=∠EAF，
∵AD∥BC，AD∥NE，
∴AD∥NE∥BC，
∴∠DAE=∠AEM，
∴∠EAM=∠AEM，
∴AM=ME，
∵点E为DC的中点，
∴M为AF中点，
∴AM=MF，
∵AD=a，FC=b，
∴ME=

AD+FC

2

=

a+b

2

，
∴AF=a+b，
∴BF=a-b，
∴AB²=（a+b）²-（a-b）²=4ab，
∴CD=AB=2

ab

．
故答案为：

20

3

．