试题

（2005·连云港）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位线，点F在AC延长上，且CF=

1

2

AC．求证：四边形ADEF是等腰梯形．

证明：证法一：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，且DE=

1

2

AC．
∴DE≠AF，
∴四边形ADEF是梯形．
∵DE∥AC，
∴∠BED=∠BCA=∠ECF=90°．
∵CF=

1

2

AC，
∴CF=DE，
又CE=BE，
∴△ECF≌△BED．
∴EF=BD，
又AD=BD，
∴AD=EF．
所以四边形ADEF是等腰梯形．

证法二：证明梯形的方法同上．
连接CD．
∵D为AB中点，
∴CD=

1

2

AB=AD．
∵DE∥CF，且DE=CF，
∴四边形CDEF是平行四边形．
∴CD=EF，
∴AD=EF，
∴四边形ADEF为等腰梯形．
证明：证法一：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，且DE=

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2

AC．
∴DE≠AF，
∴四边形ADEF是梯形．
∵DE∥AC，
∴∠BED=∠BCA=∠ECF=90°．
∵CF=

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AC，
∴CF=DE，
又CE=BE，
∴△ECF≌△BED．
∴EF=BD，
又AD=BD，
∴AD=EF．
所以四边形ADEF是等腰梯形．

证法二：证明梯形的方法同上．
连接CD．
∵D为AB中点，
∴CD=

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AB=AD．
∵DE∥CF，且DE=CF，
∴四边形CDEF是平行四边形．
∴CD=EF，
∴AD=EF，
∴四边形ADEF为等腰梯形．