试题

题目：
青果学院如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E是CD的中点，且AB=AD+BC，判断△ABE的形状，并说明理由．
答案
青果学院解：△ABE是等腰直角三角形．
理由是：延长AE交BC的延长线于M，
∵AD∥BM，
∴∠DAE=∠M，
∵∠AED=∠CEM，DE=EC，
∴△ADE≌△MEC，
∴AD=CM，
∵AB=AD+BC，
∴AB=BM，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∵△ADE≌△MCE，
∴AE=EM，
∵∠ABC=90°，
∴BE⊥AM，BE=
1
2
AM=AE，
∴△AEB是等腰直角三角形．
青果学院解：△ABE是等腰直角三角形．
理由是：延长AE交BC的延长线于M，
∵AD∥BM，
∴∠DAE=∠M，
∵∠AED=∠CEM，DE=EC，
∴△ADE≌△MEC，
∴AD=CM，
∵AB=AD+BC，
∴AB=BM，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∵△ADE≌△MCE，
∴AE=EM，
∵∠ABC=90°，
∴BE⊥AM，BE=
1
2
AM=AE，
∴△AEB是等腰直角三角形．
考点梳理
梯形中位线定理；等腰直角三角形．
延长AE交BC的延长线于M，证△ADE≌△MEC，推出AE=EM，根据等腰三角形性质推出AE⊥BE，根据直角三角形斜边上中线性质推出AE=BE即可．
本题主要考查对直角梯形，直角三角形斜边上的中线，等腰直角三角形，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
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