试题

题目：
青果学院（2011·鼓楼区二模）如图，MN=8，点P、Q在线段MN上，且PM=1，NQ=2．C是线段MN上的动点，分别以CM、CN为斜边在线段MN的同侧作直角△ACM和直角△BCN，使∠AMC=∠BCN=30°，连接AB，设AB的中点为D，当点C从点P运动到点Q时，点D移动路径的长是
2.5
2.5
．
答案
2.5

青果学院解：取CN的中点E，连接DE，设MC=x，1≤x≤6，
∵∠AMC=∠BCN=30°，
∴∠ACM=∠BNC=60°，则AC∥BN，
∴四边形ACNB是梯形（当C为MN中点时，为平行四边形），
∴AC=
x
2
，CE=BN=4-
x
2
，DE=
AC+BN
2
=2，且DE∥AC，
这就是说，在点C沿MN从P运动到Q的过程中，DE从左向右平移，
所以，点D运动路径的长就是点E运动路径的长，
∴ME=CM+CE=x+4-
x
2
=4+
x
2
，
当x=1时，ME1=4.5，
当x=6时，ME2=7，
∴E1E2=2.5，
∴点D运动路径长是2.5．
考点梳理
梯形中位线定理；含30度角的直角三角形．
易知四边形ACNB是梯形，取CN的中点E，连接DE，设MC=x，1≤x≤6，在点C沿MN从P运动到Q的过程中，DE从左向右平移，根据含30°角的直角三角形的边角关系，可求出ME的表达式，求出当x=1和x=6时，ME1和ME2的长，即可得出．
本题主要考查了梯形的中位线定理和含30°角的直角三角形的边角关系，知道把点D的移动路径，转化为点E的移动路径，是解答本题的关键．
代数几何综合题．
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