试题

如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4，EF为梯形ABCD的中位线，DH为梯形的高，且交EF于G点，下列结论正确的有（　　）
①G为EF的中点；②△EFH为等边三角形；③四边形EHCF为菱形；④S_△BEH=

1

2

S_△FCH．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

D
解：∵AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，
∴AD∥BH，AB∥DH，∠A=90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AD=BH=1，AE=DG，
同理BE=HG，
∵AE=BE，
∴DG=GH，
∵EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF∥AD∥BC，
∴DG=GH，
∵DF=CF，
∴GF=

1

2

CH=

1

2

×（3-1）=1，
∵AE∥DG，AD∥EG，
∴四边形AEGD是平行四边形，
∴AD=EG=1，
∴EG=GF，
∴G为EF的中点，∴①正确；
EF=1+1=2，
在Rt△DHC中，DH=

42-(3-1)2

=2

3

，
∴DG=GH=

3

=BE，
在Rt△EBH中，由勾股定理得：EH=

( 3 )2+12

=2，
∵∠DHC=90°．F为DC中点，
∴HF=

1

2

DC=2，
即EF=EH=HF=2，
∴△EFH是等边三角形，∴②正确；
∵EH=HC=CF=EF=2，
∴四边形EFCH是菱形，∴③正确；
∵EF∥BC，
∴△EBH边BH上的高和△FCH的边CH上的高相等，
∵BH=1，CH=2，
∴△EBH的面积是△FHC面积的一半，∴④正确．
故选D．