试题

在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征．
比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的：2²×2³=2⁵，2³×2⁴=2⁷，2²×2⁶=2⁸…·2^m×2ⁿ=2^m+n…·a^m×aⁿ=a^m+n（m、n都是正整数）．
我们亦知：

2

3

＜

2+1

3+1

，

2

3

＜

2+2

3+2

，

2

3

＜

2+3

3+3

，

2

3

＜

2+4

3+4

…
（1）请你根据上面的材料归纳出a、b、c（a＞b＞0，c＞0）之间的一个数学关系式．
（2）试用（1）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”．

解：（1）根据所给的式子之间的关系，可以用a、b、c的数学关系式表示出一般的规律

b

a

＜

b+c

a+c

，
验证：

b+c

a+c

-

b

a

=

a(b+c)-b(a+c)

a(a+c)

=

ab+ac-ab-bc

a(a+c)

=

c(a-b)

a(a+c)

，
∵a＞b＞0，c＞0，
∴

c(a-b)

a(a+c)

＞0，
∴

b

a

＜

b+c

a+c

；
（2）∵

n

m

＜

n+k

m+k

，
∴原来糖水中糖的质量分数

n

m

小于加入k克糖后糖水中糖的质量分数

n+k

m+k

，
则糖水更甜了．
解：（1）根据所给的式子之间的关系，可以用a、b、c的数学关系式表示出一般的规律

b

a

＜

b+c

a+c

，
验证：

b+c

a+c

-

b

a

=

a(b+c)-b(a+c)

a(a+c)

=

ab+ac-ab-bc

a(a+c)

=

c(a-b)

a(a+c)

，
∵a＞b＞0，c＞0，
∴

c(a-b)

a(a+c)

＞0，
∴

b

a

＜

b+c

a+c

；
（2）∵

n

m

＜

n+k

m+k

，
∴原来糖水中糖的质量分数

n

m

小于加入k克糖后糖水中糖的质量分数

n+k

m+k

，
则糖水更甜了．