试题

（2010·宁夏）如图，已知：一次函数：y=-x+4的图象与反比例函数：y=

2

x

（x＞0）的图象分别交于A、B两点，点M是一次函数图象在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M₁、M₂，设矩形MM₁OM₂的面积为S₁；点N为反比例函数图象上任意一点，过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N₁、N₂，设矩形NN₁ON₂的面积为S₂；
（1）若设点M的坐标为（x，y），请写出S₁关于x的函数表达式，并求x取何值时，S₁的最大值；
（2）观察图形，通过确定x的取值，试比较S₁、S₂的大小．

解：（1）∵M的坐标为（x，y），M点在函数y=-x+4的图象上，
∴y=-x+4，
∴S₁=xy=x（-x+4）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
当x=2时，S_1最大值=4；

（2）设N（x₁，y₁），点N在反比例函数y=

2

x

图象上，
∴S₂=x₁×y₁=2，
由S₁=S₂可得：-x²+4x=2，即x²-4x+2=0，
∴x=2±

2

，
通过观察图象可得：
当x=2±

2

时，S₁=S₂，
当0＜x＜2-

2

或2+

2

＜x＜4时，S₁＜S₂，
当2-

2

＜x＜2+

2

时，S₁＞S₂．
解：（1）∵M的坐标为（x，y），M点在函数y=-x+4的图象上，
∴y=-x+4，
∴S₁=xy=x（-x+4）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
当x=2时，S_1最大值=4；

（2）设N（x₁，y₁），点N在反比例函数y=

2

x

图象上，
∴S₂=x₁×y₁=2，
由S₁=S₂可得：-x²+4x=2，即x²-4x+2=0，
∴x=2±

2

，
通过观察图象可得：
当x=2±

2

时，S₁=S₂，
当0＜x＜2-

2

或2+

2

＜x＜4时，S₁＜S₂，
当2-

2

＜x＜2+

2

时，S₁＞S₂．