试题

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标是M（1，2），并且经过点C（0，3），抛物线与直线x=2交于点P，
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在直线上取点A（2，5），求△PAM的面积；
（3）抛物线上是否存在点Q，使△QAM的面积与△PAM的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设抛物线的函数解析式y=a（x-1）²+2．
把x=0，y=3代入y=a（x-1）²+2中，得a=1，
∴函数解析式y=（x-1）²+2．

（2）把x=2代入y=（x-1）²+2，得y=3．
∴P（2，3），AP=2．
∴S_△PAM=

1

2

×AP·MF，
=

1

2

×2×1=1

（3）由A（2，5），M（1，2）得到直线AM函数解析式y=3x-1．
①当点Q落在直线AM的下方时，过P作直线PD∥AM，交y轴于点D，
直线PD的函数解析式为y=3x+k．
把x=2，y=3代入y=3x+k得k=-3，
∴PD的函数解析式为y=3x-3．
∴

y=3x-3 y=x2-2x+3

得Q（3，6）．
∴此时抛物线上存在点Q（3，6），使△QMA与△APM的面积相等．
②P关于点A的对称点的坐标是H（2，7）
当点Q落在直线AM的上方时，过H作直线HE∥AM，交y轴于点E，
直线HE的函数解析式为y=3x+k．
把（2，7）代入y=3x+k得k=1．
HE的函数解析式为y=3x+1．
∴

y=3x+1 y=x2-2x+3

得Q(

5+ 17

2

，

17+3 17

2

)或(

5- 17

2

，

17-3 17

2

)．
综上所述，抛物线上存在点Q（3，6）或Q(

5+ 17

2

，

17+3 17

2

)或(

5- 17

2

，

17-3 17

2

)使△QMA与△APM的面积相等．
解：（1）设抛物线的函数解析式y=a（x-1）²+2．
把x=0，y=3代入y=a（x-1）²+2中，得a=1，
∴函数解析式y=（x-1）²+2．

（2）把x=2代入y=（x-1）²+2，得y=3．
∴P（2，3），AP=2．
∴S_△PAM=

1

2

×AP·MF，
=

1

2

×2×1=1

（3）由A（2，5），M（1，2）得到直线AM函数解析式y=3x-1．
①当点Q落在直线AM的下方时，过P作直线PD∥AM，交y轴于点D，
直线PD的函数解析式为y=3x+k．
把x=2，y=3代入y=3x+k得k=-3，
∴PD的函数解析式为y=3x-3．
∴

y=3x-3 y=x2-2x+3

得Q（3，6）．
∴此时抛物线上存在点Q（3，6），使△QMA与△APM的面积相等．
②P关于点A的对称点的坐标是H（2，7）
当点Q落在直线AM的上方时，过H作直线HE∥AM，交y轴于点E，
直线HE的函数解析式为y=3x+k．
把（2，7）代入y=3x+k得k=1．
HE的函数解析式为y=3x+1．
∴

y=3x+1 y=x2-2x+3

得Q(

5+ 17

2

，

17+3 17

2

)或(

5- 17

2

，

17-3 17

2

)．
综上所述，抛物线上存在点Q（3，6）或Q(

5+ 17

2

，

17+3 17

2

)或(

5- 17

2

，

17-3 17

2

)使△QMA与△APM的面积相等．