试题

（2011·六盘水）如图，已知：△ABC是⊙O的内接三角形，D是OA延长线上的一点，连接DC，且∠B=∠D=30°．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC=6，求图中弓形（即阴影部分）的面积．

解：（1）直线CD是⊙O的切线
理由如下：
如图，连接OC
∵∠AOC、∠ABC分别是AC所对的圆心角、圆周角
∴∠AOC=2∠ABC=2×30°=60°
∴∠D+∠AOC=30°+60°=90°
∴∠DCO=90°
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线

（2）过O作OE⊥AC，点E为垂足
∵OA=OC，∠AOC=60°
∴△AOC是等边三角形
∴OA=OC=AC=6，∠OAC=60°
在Rt△AOE中
OE=OA·sin∠OAC=6·sin60°=3

3

∴S_△AOC=

1

2

×6×3

3

=9

3

∵S_扇形AOC=

60π·62

360

=6π
∴S_阴=S_扇形AOC-S_△AOC=6π-9

3

解：（1）直线CD是⊙O的切线
理由如下：
如图，连接OC
∵∠AOC、∠ABC分别是AC所对的圆心角、圆周角
∴∠AOC=2∠ABC=2×30°=60°
∴∠D+∠AOC=30°+60°=90°
∴∠DCO=90°
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线

（2）过O作OE⊥AC，点E为垂足
∵OA=OC，∠AOC=60°
∴△AOC是等边三角形
∴OA=OC=AC=6，∠OAC=60°
在Rt△AOE中
OE=OA·sin∠OAC=6·sin60°=3

3

∴S_△AOC=

1

2

×6×3

3

=9

3

∵S_扇形AOC=

60π·62

360

=6π
∴S_阴=S_扇形AOC-S_△AOC=6π-9

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