试题

（2013·柳州）如图，⊙O的直径AB=6，AD、BC是⊙O的两条切线，AD=2，BC=

9

2

．
（1）求OD、OC的长；
（2）求证：△DOC∽△OBC；
（3）求证：CD是⊙O切线．

（1）解：∵AD、BC是⊙O的两条切线，
∴∠OAD=∠OBC=90°，
在Rt△AOD与Rt△BOC中，OA=OB=3，AD=2，BC=

9

2

，
根据勾股定理得：OD=

OA2+AD2

=

13

，OC=

OB2+BC2

=

3 13

2

；

（2）证明：过D作DE⊥BC，可得出∠DAB=∠ABE=∠BED=90°，
∴四边形ABED为矩形，
∴BE=AD=2，DE=AB=6，EC=BC-BE=

5

2

，
在Rt△EDC中，根据勾股定理得：DC=

DE2+EC2

=

13

2

，
∵

OD

OB

=

OC

CB

=

DC

OC

=

13

3

，
∴△DOC∽△OBC；

（3）证明：过O作OF⊥DC，交DC于点F，
∵△DOC∽△OBC，
∴∠BCO=∠FCO，
∵在△BCO和△FCO中，

∠OBC=∠OFC=90° ∠BCO=∠FCO OC=OC

，
∴△BCO≌△FCO（AAS），
∴OB=OF，
则CD是⊙O切线．
（1）解：∵AD、BC是⊙O的两条切线，
∴∠OAD=∠OBC=90°，
在Rt△AOD与Rt△BOC中，OA=OB=3，AD=2，BC=

9

2

，
根据勾股定理得：OD=

OA2+AD2

=

13

，OC=

OB2+BC2

=

3 13

2

；

（2）证明：过D作DE⊥BC，可得出∠DAB=∠ABE=∠BED=90°，
∴四边形ABED为矩形，
∴BE=AD=2，DE=AB=6，EC=BC-BE=

5

2

，
在Rt△EDC中，根据勾股定理得：DC=

DE2+EC2

=

13

2

，
∵

OD

OB

=

OC

CB

=

DC

OC

=

13

3

，
∴△DOC∽△OBC；

（3）证明：过O作OF⊥DC，交DC于点F，
∵△DOC∽△OBC，
∴∠BCO=∠FCO，
∵在△BCO和△FCO中，

∠OBC=∠OFC=90° ∠BCO=∠FCO OC=OC

，
∴△BCO≌△FCO（AAS），
∴OB=OF，
则CD是⊙O切线．