试题

题目：
青果学院如图所示，有一座山，大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径是4千米，山高4
15
千米，在山坡SA的中点C有一联络站，要从山脚A修一盘山公路，绕山坡一周将物资运往SA的中点C，这条公路的最短路程是多少
8
5
8
5
．
答案
8
5

青果学院解：如图，将圆锥沿SA展开得到扇形ASA′，则这条公路的最短路程是AC′．
在Rt△OBS中可得SB=16．（2分）
∴SA=16，SC′=8，弧长AA′为8π．
设圆心角∠ASA′为n°，
则 8π=
nπ×16
180
，
n=90，（5分）
∴∠ASA′为90°．
在Rt△ASC′中，AC′=
AS2+SC′2
=8
5
（千米）．（7分）
故答案为8
5
．（8分）
考点梳理
圆锥的计算；平面展开-最短路径问题．
公路的最短路程为圆锥展开图中点A到C′的距离．可由勾股定理求得母线SB，由底面周长等于扇形的弧长求得扇形的圆心角的度数为90度，再由勾股定理求得AC′的长．
本题考查了圆锥的计算，利用了勾股定理，圆的周长公式，弧长公式求解．
压轴题．
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