试题

如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上一点，过P点作直线MN和EF，分别平行于AB、BC，交两组对边于点M、N、E、F，则四边形PFDN、PEBM都是正方形，四边形PEAN、PMCF都是矩形，设正方形PEBM的边长为a，正方形PFDN的边长为b（a＜b）．
（1）用代数式分别表示正方形PEBM和正方形PFDN的面积之和以及矩形PEAN与矩形PMCF的面积之和，并判定两个面积之和的大小．
（2）当点P在什么位置时，它们的面积之和相等？
（3）用含a、b的代数式表示S_△EMD．

解：（1）正方形PEBM和正方形PFDN的面积之和为：a²+b²；矩形PEAN与矩形PMCF的面积之和为：ab+ab=2ab；
a²+b²-2ab=（a-b）²＞0，∴正方形PEBM和正方形PFDN的面积之和大于矩形PEAN与矩形PMCF的面积之和；

（2）当点P在中点时，它们的面积之和相等；

（3）S_△EMD=

1

2

（a+b）²-

1

2

b（a+b）-

1

4

a²═

1

2

a²+ab+

1

2

b²-

1

2

ab-

1

2

b²-

1

4

a²=

1

4

a²+

1

2

ab．
解：（1）正方形PEBM和正方形PFDN的面积之和为：a²+b²；矩形PEAN与矩形PMCF的面积之和为：ab+ab=2ab；
a²+b²-2ab=（a-b）²＞0，∴正方形PEBM和正方形PFDN的面积之和大于矩形PEAN与矩形PMCF的面积之和；

（2）当点P在中点时，它们的面积之和相等；

（3）S_△EMD=

1

2

（a+b）²-

1

2

b（a+b）-

1

4

a²═

1

2

a²+ab+

1

2

b²-

1

2

ab-

1

2

b²-

1

4

a²=

1

4

a²+

1

2

ab．