已知线段AC=8，BD=6．（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图1，图2和图3中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2和S3，则S1= ，S2= ，S3=-青果题库-青果学院

题目：

（2005·河北）已知线段AC=8，BD=6．
（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图1，图2和图3中的四边形ABCD的面积分别为S₁、S₂和S₃，则S₁=

24

，S₂=

24

，S₃=

24

；
（2）如图4，对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想；
（3）当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积是多少？
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答案

24

解：（1）S₁=24，S₂=24，S₃=24；

（2）对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，四边形ABCD的面积为定值24．
证明如下：
∵AC⊥BD，
∴S_△BAC=

1

2

AC·OB，S_△DAC=

1

2

AC·OD，
∴S_{四边形ABCD}=

1

2

AC·OB+

1

2

AC·OD=

1

2

AC·（OB+OD）=

1

2

AC·BD=24．

（3）顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积仍为24．
证明：∵AC⊥BD，
∴S_△ABD=

1

2

AO·BD，S_△BCD=

1

2

CO·BD，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=

1

2

AO·BD+

1

2

CO·BD=

1

2

BD（AO+CO）=

1

2

BD·AC=24．

考点梳理

多边形；三角形的面积．

试题