试题

题目：
（2006·常熟市一模）如图，一个正三角形经过变换依次成为正六边形、正十二边形、正二十四边形、…．当这些正多边形的周长都相等时，正六边形的面积
＜
＜
正十二边形的面积（填不等的符号）．
青果学院
答案
＜

解：设正三角形的边长为a，则正方形的边长为
3a
4
，正六边形的边长为
a
2
；
∵正三角形的边长为a，
∴其高为
3
a
2
，
∴S1=
1
2
a×
3
a
2
=
3
a2
4
；
S2=（
3a
4
）2=
9a2
16
；
∵正六边形的边长为
a
2
，
∴把正六边形分成六个三角形，其高为
3
a
4
，
∴S3=6×
1
2
×
a
2
×
3
a
4
=
3
3
a2
8
．
∵S1=
3
a2
4
=
4
3
a2
16
，S3=
3
3
a2
8
=
6
3
a2
16
，
4
3
a2
16
＜
9a2
16
＜
6
3
a2
16
，
∴S1＜S2＜S3．
故答案为：＜
考点梳理
正多边形和圆．
根据题意画出图形，分别求出正三角形与这个正六边形的面积即可作出比较．
此题考查的是正三角形、正方形、正六边形面积的求法，属中等难度题目．
压轴题；规律型．
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