试题

题目：
青果学院如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是
（
2
2
）nR
（
2
2
）nR
．
答案
（
2
2
）nR

青果学院解：如图，连接OA，OB，OC，
∵第一个的半径是R，△AOC是等腰直角三角形，
∴OC=
2
2
OA=
2
2
R，
即第二个圆的半径是
2
2
R，
同理，第三个圆的半径是（
2
2
）2R，
∴依此类推得到第n个圆，它的半径是（
2
2
）n-1R．
∵第n个内切圆恰好是第n+1个圆，
∴第n个内切圆，它的半径是（
2
2
）nR．
故答案为：（
2
2
）nR．
考点梳理
正多边形和圆．
由题意可得第一个的半径是R，△AOC是等腰直角三角形，则可求得第二个圆的半径，同理求得第三个圆的半径，继而可得规律：第n个圆的半径是（
2
2
）n-1R，又由第n个内切圆恰好是第n+1个圆，求得答案．
此题考查了正多边形与圆的知识．此题难度适中，属于规律性题目，注意得到规律：第n个圆的半径是（
2
2
）n-1R是关键．
压轴题；规律型．
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