试题

题目：
（1999·河南）已知正三角形的边长为a，那么它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积S=
πa2
4
πa2
4
．
答案
πa2
4

解：如图所示，BC=a，
连接OB、OC，过O作OD⊥BC；
∵△ABC是正三角形，青果学院
∴∠BOC=
360°
3
=120°，
∵OB=OC，OD⊥BC，
∴∠BOD=
1
2
∠BOC=
1
2
×120°=60°，BD=CD=
1
2
BC=
a
2
，
∴OB=
BD
sin∠BOD
=
a
2
3
2
=
3
a
3
；
∵∠BOD=60°，
∴∠DOB=90°-60°=30°，
∴OD=
1
2
×
3
a
3
=
3
a
6
，
∴S大圆=π（OB）2=π（
3
a
3
）2=
πa2
3
，
S小圆=π（OD）2=π（
3
a
6
）2=
πa2
12
，
∴S圆环=S大圆-S小圆=
πa2
3
-
πa2
12
=
πa2
4
．
考点梳理
正多边形和圆．
根据题意画出图形，分别求出两圆的半径，再分别求出两圆的面积，两圆的面积之差即为内切圆与外接圆组成的圆环的面积．
此题比较复杂，解答此题的关键是根据题意画出图形，根据正三角形的性质分别求出两圆的半径及面积即可解答．
压轴题．
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