试题

题目：
青果学院如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，EF⊥BC，垂足为F．如果CD=16，AE=4，则BF为
16
5
5
16
5
5
．
答案
16
5
5

青果学院解：连接AC．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=
1
2
CD，∠ACB=90°（直径所对的圆周角是90°）；
在Rt△ACB中，CE2=AE·BE；
又果CD=16，AE=4，
∴BE=16；
在Rt△ACE中，AC=
AE2+CE2
=4
5
（勾股定理）；
∵EF⊥BC，
∴EF∥AC，
∴∠BEF=CAE（两直线平行，同位角相等）；
在Rt△BEFR和Rt△CAE中，
∠BEF=CAE，∠BFE=∠CEA=90°，
∴Rt△BEF∽Rt△CAE（AA），
∴
BE
AC
=
BF
AE
（相似三角形的对应边成比例），
∴BF=
16
5
5
；
故答案为：
16
5
5
．
考点梳理
垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
作辅助线AC构造直角三角形ACB，在Rt△ACB中利用射影定理求得BE=16；然后在直角三角形ACE中由勾股定理求得AC=4
5
；最后通过AA判定Rt△BEFR∽Rt△CAE，根据相似三角形的对应边成比例求得BF的长度．
本题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、射影定理及垂径定理．解答此题时，通过作辅助线AC，利用圆周角定理来构造直角三角形、相似三角形Rt△BEF和Rt△CAE，然后通过解直角三角形求得BE、AC的长度，利用相似三角形的对应边成比例求得BF的长度．
计算题．
找相似题