试题

（2002·兰州）已知如图，

AB

所对弦AB=8

3

，弓形的高CD为4，求这个弓形ACB的面积．

解：连接OA、OB、OD，
∵AB是⊙O的弦，CD是弓形的高，
∴D是弦AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴O、D、C三点共线，
在Rt△ODA中，设OA=r，则OD=r-4，
根据勾股定理OA²=OD²+AD²，
即r²=（r-4）²+（4

3

）²，
∴r=8，
∴OD=8-4=4，
∴∠OAD=30°，∠AOD=60°，
根据圆及弦的性质得∠BOD=∠AOD=60°，
∴∠AOB=120°，
∴S_扇形OAB=120°÷360°×πr²=

1

3

π×8²=

64

3

π，
又S_△AOB=

1

2

AB·OD=

1

2

×8

3

×4=16

3

，
∴S_弓形ACB=S_扇形OAB-S_△AOB，
=

64

3

π-16

3

，
=

64π-48 3

3

．
解：连接OA、OB、OD，
∵AB是⊙O的弦，CD是弓形的高，
∴D是弦AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴O、D、C三点共线，
在Rt△ODA中，设OA=r，则OD=r-4，
根据勾股定理OA²=OD²+AD²，
即r²=（r-4）²+（4

3

）²，
∴r=8，
∴OD=8-4=4，
∴∠OAD=30°，∠AOD=60°，
根据圆及弦的性质得∠BOD=∠AOD=60°，
∴∠AOB=120°，
∴S_扇形OAB=120°÷360°×πr²=

1

3

π×8²=

64

3

π，
又S_△AOB=

1

2

AB·OD=

1

2

×8

3

×4=16

3

，
∴S_弓形ACB=S_扇形OAB-S_△AOB，
=

64

3

π-16

3

，
=

64π-48 3

3

．