试题

（2004·武汉）已知：如图，直线y=kx+3（k＞0）交x轴于B点，交y轴于A点，以A为圆心，AB为半径作⊙A交x轴于另一点D，交y轴于E、F两点，交直线AB于C点，连接BE、CE，∠CBD的平分线交CE于I点．
（1）求证：BE=IE；
（2）若AI⊥CE，设Q为弧BF上一点，连接DQ交y轴于T，连接BQ并延长交y轴于G点，求AT·AG的值；
（3）设P为线段AB上的一个动点（异于A、B），连接PD交y轴于M点，过P、M、B三点作⊙O₁交y轴于另一点N．设⊙O₁的半径为R，当k=

3

4

时，给出下列两个结论：①MN的长度不变；②

MN

R

的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值．

（1）证明：∵AE⊥BD，
∴弧BE=弧DE．
∴∠1=∠2．
∵∠3=∠4，∠5=∠2+∠3，∠IBE=∠1+∠4，
∴∠5=∠IBE．
∴BE=IE．

（2）解：连接QC、TB，
则∠6+∠CBQ=90°，
又∠7+∠8=90°，而∠6=∠7，
∴∠CBQ=∠8=∠9．
∴△ABG∽△ATB．
∴AB²=AG·AT．
∵AI⊥CE，
∴I为CE的中点．
∴AE=AC，IE=IC．
∴△BEO∽△CBE．
∴OE：OB=BE：CE=1：2．
设⊙A的半径为R，
由AB²-OA²=BO²，OE=R-3，
得R²-3²=4（R-3）²
解得R=5，或R=3（不合题意，舍去）．
∴AT·AG=AB²=25．
（方法二提示：可连接AD、CD证△BAG∽△TAD）

（3）解：②的值不变．
证明：作O₁K⊥MN于K，连接O₁N、PN、BM，
则MN=2NK，且∠N O₁K=∠1，
∴

MN

R

=

2NK

O1K

=2sin∠NO₁K=2sin∠1
由直线y=x+3得OB=OD=4，OM⊥BD，
∴∠2=∠3．
又∠2=∠4+∠5，∠3=∠1+∠6，
∵∠5=∠6，
∴∠1=∠4=∠NO₁K，

MN

R

=2sin∠4=2×

BO

AB

=

8

5

．
所以

MN

R

的值不变，其值为

8

5

．
（1）证明：∵AE⊥BD，
∴弧BE=弧DE．
∴∠1=∠2．
∵∠3=∠4，∠5=∠2+∠3，∠IBE=∠1+∠4，
∴∠5=∠IBE．
∴BE=IE．

（2）解：连接QC、TB，
则∠6+∠CBQ=90°，
又∠7+∠8=90°，而∠6=∠7，
∴∠CBQ=∠8=∠9．
∴△ABG∽△ATB．
∴AB²=AG·AT．
∵AI⊥CE，
∴I为CE的中点．
∴AE=AC，IE=IC．
∴△BEO∽△CBE．
∴OE：OB=BE：CE=1：2．
设⊙A的半径为R，
由AB²-OA²=BO²，OE=R-3，
得R²-3²=4（R-3）²
解得R=5，或R=3（不合题意，舍去）．
∴AT·AG=AB²=25．
（方法二提示：可连接AD、CD证△BAG∽△TAD）

（3）解：②的值不变．
证明：作O₁K⊥MN于K，连接O₁N、PN、BM，
则MN=2NK，且∠N O₁K=∠1，
∴

MN

R

=

2NK

O1K

=2sin∠NO₁K=2sin∠1
由直线y=x+3得OB=OD=4，OM⊥BD，
∴∠2=∠3．
又∠2=∠4+∠5，∠3=∠1+∠6，
∵∠5=∠6，
∴∠1=∠4=∠NO₁K，

MN

R

=2sin∠4=2×

BO

AB

=

8

5

．
所以

MN

R

的值不变，其值为

8

5

．