试题

（2005·双柏县）已知：如图，在平面直角坐标系中，点C在y轴上，以C为圆心，4cm为半径的圆与x轴相交于点A、B，与y轴相交于D、E，且

AB

=

BD

．点P是⊙C上一动点（P点与A、B点不重合）．连接BP、AP．
（1）求∠BPA的度数；
（2）若过点P的⊙C的切线交x轴于点G，是否存在点P，使△APB与以A、G、P为顶点的三角形相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）根据垂径定理得到弧BE=弧AE．
又

AB

=

BD

，则弧BD=弧BE的2倍．
所以劣弧AB的度数是120°．
∴∠BPA=60°或∠BPA=120°；

（2）设存在点P，使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似．
①当P在弧EAD上时，（图1）GP切OC于点P，∴∠GPA=∠PBA．
又∵∠GAP是△ABP的外角，∴∠GAP＞∠BPA，∠GAP＞∠PBA．
欲使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似，须∠GAP=∠PAB=90°，
∴BP为⊙C的直径．
在Rt△PAB中，∠BPA=60°，PB=8，
∴PA=4，AB=4

3

，OA=2

3

，P（2

3

，4）
②当P在弧EBD上时，（图2）在△PAB和△GAP中，
∵∠PBA是△GBP的外角，
∴∠PBA＞∠PGB，
又∵∠PAB=∠GAP，
欲使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似，须∠APB=∠PGB，
∴GP切⊙C于点P，
∴∠GPB=∠PAG．
由三角形内角和定理知：∠ABP=∠GBP，
∴∠ABP=∠GBP=90°．
在Rt△PAB，∠BPA=60°，PA=8，
∴PB=4，AB=4

3

，OB=2

3

，P（-2

3

，4），
∴存在点P₁（2

3

，4）、P₂（-2

3

，4）使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似．
解：（1）根据垂径定理得到弧BE=弧AE．
又

AB

=

BD

，则弧BD=弧BE的2倍．
所以劣弧AB的度数是120°．
∴∠BPA=60°或∠BPA=120°；

（2）设存在点P，使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似．
①当P在弧EAD上时，（图1）GP切OC于点P，∴∠GPA=∠PBA．
又∵∠GAP是△ABP的外角，∴∠GAP＞∠BPA，∠GAP＞∠PBA．
欲使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似，须∠GAP=∠PAB=90°，
∴BP为⊙C的直径．
在Rt△PAB中，∠BPA=60°，PB=8，
∴PA=4，AB=4

3

，OA=2

3

，P（2

3

，4）
②当P在弧EBD上时，（图2）在△PAB和△GAP中，
∵∠PBA是△GBP的外角，
∴∠PBA＞∠PGB，
又∵∠PAB=∠GAP，
欲使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似，须∠APB=∠PGB，
∴GP切⊙C于点P，
∴∠GPB=∠PAG．
由三角形内角和定理知：∠ABP=∠GBP，
∴∠ABP=∠GBP=90°．
在Rt△PAB，∠BPA=60°，PA=8，
∴PB=4，AB=4

3

，OB=2

3

，P（-2

3

，4），
∴存在点P₁（2

3

，4）、P₂（-2

3

，4）使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似．