试题

题目：
青果学院（2005·徐州）如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为G，F是CD延长线上的一点，AF交⊙O于点E，连接CE．若CF=10，
AC
AF
=
4
5
，求CE的长．
答案
青果学院解：方法一：连接AD，（1分）
∵∠EAD=∠ECD，∠F=∠F，
∴△FAD∽△FCE，（5分）
∴
AF
CF
=
AD
CE
，即
AD
AF
=
CE
CF
，
∵直径AB垂直于弦CD，
∴
AD
=
AC
，∴AD=AC，
又∵
AC
AF
=
4
5
，∴
AD
AF
=
4
5
，
CE
CF
=
4
5
，（8分）
又∵CF=10，∴CE=8；（10分）

方法二：∵直径AB垂直于弦CD，
∴
AD
=
AC
，∴∠AEC=∠ACF，
又∵∠EAC=∠FAC，
∴△AEC∽△ACF，（5分）
∴
AC
AF
=
CE
CF
，又∵
AC
AF
=
4
5
，∴
CE
CF
=
4
5
，（8分）
又∵CF=10，
∴CE=8．  （10分）
青果学院解：方法一：连接AD，（1分）
∵∠EAD=∠ECD，∠F=∠F，
∴△FAD∽△FCE，（5分）
∴
AF
CF
=
AD
CE
，即
AD
AF
=
CE
CF
，
∵直径AB垂直于弦CD，
∴
AD
=
AC
，∴AD=AC，
又∵
AC
AF
=
4
5
，∴
AD
AF
=
4
5
，
CE
CF
=
4
5
，（8分）
又∵CF=10，∴CE=8；（10分）

方法二：∵直径AB垂直于弦CD，
∴
AD
=
AC
，∴∠AEC=∠ACF，
又∵∠EAC=∠FAC，
∴△AEC∽△ACF，（5分）
∴
AC
AF
=
CE
CF
，又∵
AC
AF
=
4
5
，∴
CE
CF
=
4
5
，（8分）
又∵CF=10，
∴CE=8．  （10分）
考点梳理
垂径定理；相似三角形的判定与性质．
连接AD，易证△FAD∽△FCE，根据相似三角形的性质，对应边的比相等，得到
AF
CF
=
AD
CE
，即
AD
AF
=
CE
CF
，再根据垂径定理得到AD=AC，就可以求出CE的长．
本题根据同弧所对的圆周角相等，证出三角形相似，利用垂径定理就可以求出所要求的结论．
计算题．
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