试题

（2006·海淀区）如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连接AD、BD、OC、OD，且OD=5．
（1）若sin∠BAD=

3

5

，求CD的长；
（2）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留π）．

解：（1）∵AB是⊙O的直径，OD=5，
∴∠ADB=90°，AB=10，
在Rt△ABD中，sin∠BAD=

BD

AB

，sin∠BAD=

3

5

，
∴

BD

10

=

3

5

，BD=6，
∴AD=

AB2-BD2

=

102-62

=8，
∵∠ADB=90°，AB⊥CD，
∴DE·AB=AD·BD，CE=DE，
∴DE×10=8×6，
∴DE=

24

5

∴CD=2DE=

48

5

；

（2）∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴

CB

=

BD

，

AC

=

AD

，
∴∠BAD=∠CDB，∠AOC=∠AOD，
∵AO=DO，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CDB=∠ADO，
设∠ADO=4x，则∠CDB=4x．
由∠ADO：∠EDO=4：1，则∠EDO=x．
∵∠ADO+∠EDB+∠EDO=90°，
∴4x+4x+x=90°，
解得：x=10°，
∴∠AOD=180°-（∠OAD+∠ADO）=100°，
∴∠AOC=∠AOD=100°，
∴S_扇形OAC=

100

360

×π×52=

125

18

π．
解：（1）∵AB是⊙O的直径，OD=5，
∴∠ADB=90°，AB=10，
在Rt△ABD中，sin∠BAD=

BD

AB

，sin∠BAD=

3

5

，
∴

BD

10

=

3

5

，BD=6，
∴AD=

AB2-BD2

=

102-62

=8，
∵∠ADB=90°，AB⊥CD，
∴DE·AB=AD·BD，CE=DE，
∴DE×10=8×6，
∴DE=

24

5

∴CD=2DE=

48

5

；

（2）∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴

CB

=

BD

，

AC

=

AD

，
∴∠BAD=∠CDB，∠AOC=∠AOD，
∵AO=DO，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CDB=∠ADO，
设∠ADO=4x，则∠CDB=4x．
由∠ADO：∠EDO=4：1，则∠EDO=x．
∵∠ADO+∠EDB+∠EDO=90°，
∴4x+4x+x=90°，
解得：x=10°，
∴∠AOD=180°-（∠OAD+∠ADO）=100°，
∴∠AOC=∠AOD=100°，
∴S_扇形OAC=

100

360

×π×52=

125

18

π．