试题

（2008·南昌）如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F．
（1）请写出三条与BC有关的正确结论；
（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．

解：（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：
①BC=BD；②OF∥BC；③∠BCD=∠A；④△BCE∽△OAF；⑤BC²=BE·AB；
⑥BC²=CE²+BE²；⑦△ABC是直角三角形；⑧△BCD是等腰三角形．

（2）连接OC，则OC=OA=OB，
∵∠D=30°，

BC

=

BC

，
∴∠A=∠D=30°，
∴∠COB=2∠A=60°
∴∠AOC=120°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，BC=1，
∴AB=2，AC=

3

，
∵OF⊥AC，
∴AF=CF，
∵OA=OB，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF=

1

2

BC=

1

2

，
∴S_△AOC=

1

2

AC·OF=

1

2

×

3

×

1

2

=

3

4

，
S_扇形AOC=

1

3

π×OA²=

π

3

，
∴S_阴影=S_扇形AOC-S_△AOC=

π

3

-

3

4

．
解：（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：
①BC=BD；②OF∥BC；③∠BCD=∠A；④△BCE∽△OAF；⑤BC²=BE·AB；
⑥BC²=CE²+BE²；⑦△ABC是直角三角形；⑧△BCD是等腰三角形．

（2）连接OC，则OC=OA=OB，
∵∠D=30°，

BC

=

BC

，
∴∠A=∠D=30°，
∴∠COB=2∠A=60°
∴∠AOC=120°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，BC=1，
∴AB=2，AC=

3

，
∵OF⊥AC，
∴AF=CF，
∵OA=OB，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF=

1

2

BC=

1

2

，
∴S_△AOC=

1

2

AC·OF=

1

2

×

3

×

1

2

=

3

4

，
S_扇形AOC=

1

3

π×OA²=

π

3

，
∴S_阴影=S_扇形AOC-S_△AOC=

π

3

-

3

4

．