试题

题目：
（2000·杭州）已知一个正三角形和一个正六边形的周长相等，求它们的面积的比值．
答案
解：设它们的周长是1．根据题意，得
正三角形的边长是
1
3
，正六边形的边长是
1
6
．
则正三角形的边心距是
3
6
，正六边形的边心距是
3
36
．
则正三角形的面积是
3
12
，正六边形的面积是
3
24
．
则它们的面积比是1：2．
解：设它们的周长是1．根据题意，得
正三角形的边长是
1
3
，正六边形的边长是
1
6
．
则正三角形的边心距是
3
6
，正六边形的边心距是
3
36
．
则正三角形的面积是
3
12
，正六边形的面积是
3
24
．
则它们的面积比是1：2．
考点梳理
正多边形和圆．
根据正多边形的面积等于周长与边心距的乘积的一半，所以只需根据它们的周长计算其边心距；在由正多边形的半径、边心距和边长组成的直角三角形中，根据锐角三角函数的概念可以分别求得它们的边心距，再进一步计算其面积，从而得到其比值．
熟悉正多边形的面积公式：正多边形的面积等于周长与边心距的乘积的一半．能够根据由半径、边心距和半边组成的直角三角形，运用锐角三角函数进行计算．
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