试题

题目：
若正五边形ABCDE的边长为a，对角线长为b，试证：
b
a
-
a
b
=1．（提示：联想托勒密定理证b2=a2+ab，作出五边形的外接圆即可证得．）
答案
青果学院解：作出五边形的外接圆，连接CE、BD、BE．
在四边形BCDE中，根据托勒密定理得，
BC·DE+CD·BE=CE·BD，
即a·a+a·b=b·b，
整理得，b2-a2=ab，
两边同时除以ab得，
b
a
-
a
b
=1．
青果学院解：作出五边形的外接圆，连接CE、BD、BE．
在四边形BCDE中，根据托勒密定理得，
BC·DE+CD·BE=CE·BD，
即a·a+a·b=b·b，
整理得，b2-a2=ab，
两边同时除以ab得，
b
a
-
a
b
=1．
考点梳理
正多边形和圆．
作出五边形的外接圆，联想托勒密定理，先证b2=a2+ab，再变形为
b
a
-
a
b
=1．
此题考查了正五边形的性质，作出其外接圆及对角线，构造圆内接四边形，从而应用托勒密定理是解题的关键．
数形结合．
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