试题

已知圆内接正n边形A₁，A₂，A₃…A_n-1，A_n，p是圆上异于A_n-2，A_n的弧A_n-2A₁A_n上的一点，求

PAn-2+PAn

PAn-1

的值．

解：如图，连接A_n-2A_n，过A_n-2作A_n-1M⊥A_n于M，
∵

An-2An-1

=

An-1An

，且它们的度数均为

360°

n

，
∴∠A_n-2A_nA_n-1=

180°

n

，
设A_n-2A_nA_n-1=A_n-2A_nA_n=a，
∴A_nM=acos

180°

n

，
∴A_n-2A_n=2acos

180°

n

，
∵PA_n-2A_n-1A_n为圆内接四边形，由托勒密定理（圆内接四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积）得：
PA_n-2A_n-1A_n+PA_nA_n-2A_n-1=PA_n-1A_n-2A_n，即a（PA_n-2+PA_n）=PA_n-1·2cos

180°

n

，
∴

PAn-2+PAn

PAn-1

=2cos

180°

n

．
故答案为：2cos

180°

n

．
解：如图，连接A_n-2A_n，过A_n-2作A_n-1M⊥A_n于M，
∵

An-2An-1

=

An-1An

，且它们的度数均为

360°

n

，
∴∠A_n-2A_nA_n-1=

180°

n

，
设A_n-2A_nA_n-1=A_n-2A_nA_n=a，
∴A_nM=acos

180°

n

，
∴A_n-2A_n=2acos

180°

n

，
∵PA_n-2A_n-1A_n为圆内接四边形，由托勒密定理（圆内接四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积）得：
PA_n-2A_n-1A_n+PA_nA_n-2A_n-1=PA_n-1A_n-2A_n，即a（PA_n-2+PA_n）=PA_n-1·2cos

180°

n

，
∴

PAn-2+PAn

PAn-1

=2cos

180°

n

．
故答案为：2cos

180°

n

．