试题

（2012·滨海县二模）如图所示，AB是⊙O的直径，AB=4，D是⊙O上的一点，∠ABD=30°，OF∥AD交BD于点E，交⊙O于点F．
（1）求DE的长度；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．

解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∠ABD=30°，AB=4，
∴BD=AB·cos∠ABD=4×

3

2

=2

3

；
∵OF∥AD，点O是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴点E是线段BD的中点，
∴DE=

1

2

BD=

3

；

（2）由（1）知，∠ADB=90°．
∵∠ABD=30°，
∴∠DAB=60°（三角形内角和定理）；
又∵OF∥AD，
∴∠EOB=∠DAB=60°（两直线平行，同位角相等）；
∵OB=

1

2

AB=2，
∴S_扇形OBF=

60π×22

360

=

2

3

π；
由（1）知，DE=

1

2

BD，
∴BE=

1

2

BD=

3

，
∴S_△OBE=

1

2

OB·BEsin∠EBO=

1

2

×2×

3

×

1

2

=

3

2

，
∴S_阴影=S_扇形OBF-S_△OBE=

2

3

π-

3

2

．
解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∠ABD=30°，AB=4，
∴BD=AB·cos∠ABD=4×

3

2

=2

3

；
∵OF∥AD，点O是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴点E是线段BD的中点，
∴DE=

1

2

BD=

3

；

（2）由（1）知，∠ADB=90°．
∵∠ABD=30°，
∴∠DAB=60°（三角形内角和定理）；
又∵OF∥AD，
∴∠EOB=∠DAB=60°（两直线平行，同位角相等）；
∵OB=

1

2

AB=2，
∴S_扇形OBF=

60π×22

360

=

2

3

π；
由（1）知，DE=

1

2

BD，
∴BE=

1

2

BD=

3

，
∴S_△OBE=

1

2

OB·BEsin∠EBO=

1

2

×2×

3

×

1

2

=

3

2

，
∴S_阴影=S_扇形OBF-S_△OBE=

2

3

π-

3

2

．