试题

题目：
青果学院（2012·宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合）．
（1）以AB为对称轴，作点C的对称点为C′，连接CC′交AB于点E；
（2）在（1）的条件下，当BC=1，AC=2时，计算BE的长；
（3）在（2）的条件下，将△ABC绕AB所在直线旋转一周，得到一个几何体，求这个几何体的表面积．
答案
青果学院解：（1）过C作CC′⊥AB，交AB交于点E，
∵AB为圆O的直径，
∴E为CC′的中点，
则C′为C关于AB的对称点；
（2）∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，BC=1，AC=2，
根据勾股定理得：AB=
AC2+BC2
=
5
，
∵S△ABC=
1
2
AB·CE=
1
2
AC·BC，
∴CE=
AC·BC
AB
=
2
5
5
，
在Rt△BEC中，BC=1，CE=
2
5
5
，
根据勾股定理得：BE=
BC2-EC2
=
5
5
；
（3）∵AC=2，CE=
2
5
5
，BC=1，
∴所求几何体的表面积S=π·CE·AC+π·CE·BC=
6
5
5
π．
青果学院解：（1）过C作CC′⊥AB，交AB交于点E，
∵AB为圆O的直径，
∴E为CC′的中点，
则C′为C关于AB的对称点；
（2）∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，BC=1，AC=2，
根据勾股定理得：AB=
AC2+BC2
=
5
，
∵S△ABC=
1
2
AB·CE=
1
2
AC·BC，
∴CE=
AC·BC
AB
=
2
5
5
，
在Rt△BEC中，BC=1，CE=
2
5
5
，
根据勾股定理得：BE=
BC2-EC2
=
5
5
；
（3）∵AC=2，CE=
2
5
5
，BC=1，
∴所求几何体的表面积S=π·CE·AC+π·CE·BC=
6
5
5
π．
考点梳理
垂径定理；勾股定理；圆锥的计算．
（1）过C作CC′⊥AB，交AB交于点E，由AB为圆O的直径，垂直于CC′，利用垂径定理得到E为CC′的中点，可得出此时C′与C对称；
（2）由AB为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形ABC为直角三角形，由AC与BC的长，利用勾股定理求出AB的长，再利用三角形ABC面积的两种求法求出斜边AB边上的高CE的长，在直角三角形EBC中，利用勾股定理即可求出BE的长；
（3）将△ABC绕AB所在直线旋转一周，得到一个几何体为两底面重合的圆锥，底面半径都为CE，母线分别为AC与BC，其表面积即为两圆锥的侧面积，利用侧面积公式求出即可．
此题考查了垂径定理，勾股定理，以及圆锥的侧面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
计算题．
找相似题