试题

题目：
青果学院（2013·丹东一模）如图，AB是⊙O的直径，OD∥BC，∠A=30°，CD=2．
求：（1）弦BC的长；
    （2）图中阴影部分的面积．
答案
青果学院解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥BC，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AC，
∴AD=DC=2，
∴AC=4，
∵∠A=30°，
∴BC=
3
3
AC=
4
3
3
；

（2）连结OC，如图，
∵OD为△ACB的中位线，
∴OD=
1
2
BC=
2
3
3
，
在Rt△ACB中，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴OC=BC=
4
3
3
，∠AOC=2∠B=120°，
∴阴影部分的面积=S扇形OAC-S△OAC
=
120·π·(
4
3
3
)2
360
-
1
2
×4×
2
3
3

=
16π
9
-
3
3
．
青果学院解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥BC，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AC，
∴AD=DC=2，
∴AC=4，
∵∠A=30°，
∴BC=
3
3
AC=
4
3
3
；

（2）连结OC，如图，
∵OD为△ACB的中位线，
∴OD=
1
2
BC=
2
3
3
，
在Rt△ACB中，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴OC=BC=
4
3
3
，∠AOC=2∠B=120°，
∴阴影部分的面积=S扇形OAC-S△OAC
=
120·π·(
4
3
3
)2
360
-
1
2
×4×
2
3
3

=
16π
9
-
3
3
．
考点梳理
垂径定理；圆周角定理；扇形面积的计算．
（1）根据圆周角定理得∠ACB=90°，再由OD∥BC得∠ADO=90°，则根据垂径定理得到AD=DC=2，即AC=4，然后根据含30°的直角三角形三边的关系可计算出BC；
（2）先得到OD=
1
2
BC=
2
3
3
，再计算出半径，然后根据扇形面积公式和阴影部分的面积=S扇形OAC-S△OAC进行计算即可．
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、扇形的面积公式以及含30°的直角三角形三边的关系．
计算题．
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