试题

题目：
青果学院（2013·普陀区模拟）如图，在⊙O中，AD、BC相交于点E，OE平分∠AEC．
（1）求证：AB=CD；
（2）如果⊙O的半径为5，AD⊥CB，DE=1，求AD的长．
答案
证明：（1）过点O作OM⊥AD，ON⊥BC，
∵OE平分∠AEC，
∴OM=ON，青果学院
∴
AD
=
BC
，
AD
-
BD
=
BC
-
BD
，即
AB
=
CD
，
∴AB=CD．
（2）∵OM⊥AD，
∴AM=DM，
∵AD⊥CB，OE平分∠AEC，
∴∠OEM=45°，
∴∠MOE=45°，
∴∠OEM=∠EOM，
∴OM=ME，
在Rt△AOM中，OA2=OM2+AM2，即25=（AM-1）2+AM2，
解得：AM=4或AM=-3（舍去）
故AD的长为8．
证明：（1）过点O作OM⊥AD，ON⊥BC，
∵OE平分∠AEC，
∴OM=ON，青果学院
∴
AD
=
BC
，
AD
-
BD
=
BC
-
BD
，即
AB
=
CD
，
∴AB=CD．
（2）∵OM⊥AD，
∴AM=DM，
∵AD⊥CB，OE平分∠AEC，
∴∠OEM=45°，
∴∠MOE=45°，
∴∠OEM=∠EOM，
∴OM=ME，
在Rt△AOM中，OA2=OM2+AM2，即25=（AM-1）2+AM2，
解得：AM=4或AM=-3（舍去）
故AD的长为8．
考点梳理
圆心角、弧、弦的关系；勾股定理；垂径定理．
（1）过点O作OM⊥AD，ON⊥BC，从而得出OM=ON，根据垂径定理可得出
AD
=
BC
，然后可得
AB
=
CD
，继而得出结论．
（2）先判断OM=ME，然后利用勾股定理得出AM的方程，解出后，根据AD=2AM，即可得出答案．
本题考查了勾股定理、垂径定理及圆心角、弧、弦之间的关系，属于基础题，注意一些基本定理及性质的掌握．
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