试题

题目：
青果学院（2013·松江区二模）如图，已知在△ABC中，AC=15，AB=25，sin∠CAB=
4
5
，以CA为半径的⊙C与AB、BC分别交于点D、E，联结AE，DE．
（1）求BC的长；
（2）求△AED的面积．
答案
青果学院解：（1）过点作CF⊥AB于点F，
∵AC=15，sin∠CAB=
4
5
，
∴CF=AC·sin∠CAB=15×
4
5
=12，
在Rt△ACF中，
∵AC=15，CF=12，
∴AF=
AC2-CF2
=
152-122
=9，
∴BF=AB-AF=25-9=16，
在Rt△BCF中，
∵BF=16，CF=12，
∴BC=
BF2+CF2
=
162+122
=20；

（2）∵CF⊥AB，AF=9，
∴AD=2AF=18，
∵BC=20，CE=AC=15，
∴BE=BC-CE=20-15=5，
过点E作EG⊥AB于点G，
∵EG∥CF，
∴△BEG∽△BCF，
∴
EG
CF
=
BE
BC
，
EG
12
=
5
20
，解得EG=3，
∴S△AEG=
1
2
AD·EG=
1
2
×18×3=27．
青果学院解：（1）过点作CF⊥AB于点F，
∵AC=15，sin∠CAB=
4
5
，
∴CF=AC·sin∠CAB=15×
4
5
=12，
在Rt△ACF中，
∵AC=15，CF=12，
∴AF=
AC2-CF2
=
152-122
=9，
∴BF=AB-AF=25-9=16，
在Rt△BCF中，
∵BF=16，CF=12，
∴BC=
BF2+CF2
=
162+122
=20；

（2）∵CF⊥AB，AF=9，
∴AD=2AF=18，
∵BC=20，CE=AC=15，
∴BE=BC-CE=20-15=5，
过点E作EG⊥AB于点G，
∵EG∥CF，
∴△BEG∽△BCF，
∴
EG
CF
=
BE
BC
，
EG
12
=
5
20
，解得EG=3，
∴S△AEG=
1
2
AD·EG=
1
2
×18×3=27．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形．
（1）过点作CF⊥AB于点F，由AC=15，sin∠CAB=
4
5
求出CF的长，由勾股定理求出AF的长，故可得出BF的长，在Rt△BCF中，根据勾股定理可求出BC的长；
（2）由（1）中CF⊥AB可知AD=2AF，根据BC的长可得出BE的长，过点E作EG⊥AB于点G，由相似三角形的判定定理可得出△BEG∽△BCF，故可得出EG的长，再根据S△AEG=
1
2
AD·EG即可得出结论．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
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