试题

（2008·门头沟区一模）如图1，矩形ABCD中，BC=2AB，M为AD的中点，连接BM．
（1）请你判断并写出∠BMD是∠ABM的几倍；
（2）如图2，在·ABCD中，BC=2AB，M为AD的中点，CE⊥AB，连接EM、CM，请问：∠AEM与∠DME是否也具有（1）中的倍数关系？若有，请证明；若没有，请说明理由．

解：（1）∵AM=AB，
∴∠AMB=∠ABM=45°，
∴∠BMD=135°．
∴∠BMD=3∠ABM．

（2）证明：延长EM、CD交于点F．
∵AB∥CF
∴∠AEM=∠DFM．
又∵AM=DM，∠AME=∠FMD，
∴△AEM≌△DFM．
∴∠AEM=∠F，EM=FM．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BEC=∠ECD．
∵CE⊥AB，
∴∠BEC=90°．
∴∠ECD=90°．
∴MC=MF．
∴∠MCF=∠F，
∴∠EMC=2∠F=2∠AEM．
又∵DM=CD，
∴∠DMC=∠MCF=∠F=∠AEM．
∴∠EMD=3∠AEM．
解：（1）∵AM=AB，
∴∠AMB=∠ABM=45°，
∴∠BMD=135°．
∴∠BMD=3∠ABM．

（2）证明：延长EM、CD交于点F．
∵AB∥CF
∴∠AEM=∠DFM．
又∵AM=DM，∠AME=∠FMD，
∴△AEM≌△DFM．
∴∠AEM=∠F，EM=FM．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BEC=∠ECD．
∵CE⊥AB，
∴∠BEC=90°．
∴∠ECD=90°．
∴MC=MF．
∴∠MCF=∠F，
∴∠EMC=2∠F=2∠AEM．
又∵DM=CD，
∴∠DMC=∠MCF=∠F=∠AEM．
∴∠EMD=3∠AEM．