试题

题目：
设E，F分别在矩形ABCD边BC和CD上，△ABE、△ECF、△FDA的面积分别是a，b，c．求△AEF的面积S．
答案
青果学院解：设AB=x1，BE=x2，EC=x3，CF=x4，则FD=x1-x4，AD=x2+x3，
由题意得x1·x2=2a，x3·x4=2b，
（x1-x4）×（x2+x3）=2c，即x2·x3-x2·x4=2（b+c-a），
又x1x2x3x4=4ab
代入x2x4=x1x3-2（b+c-a）得关于x1x3的一元二次方程，即
（x1x3）2-2（b+c-a）x1x3-4ab=0
解之得x1x3=（b+c-a）+
＜(b+c-a)2+4

又S矩形=x1（x2+x3）=2a+（b+c-a）+
(b+c-a)2+4ab

=（a+b+c）+
(b+c-a)2+4ab

∴S△AEF=S矩形-S△ABE-S△CEF-S△ADF
=（a+b+c）+
(b+c-a)2+4ab
-a-b-c
=
(b+c-a)2+4ab

青果学院解：设AB=x1，BE=x2，EC=x3，CF=x4，则FD=x1-x4，AD=x2+x3，
由题意得x1·x2=2a，x3·x4=2b，
（x1-x4）×（x2+x3）=2c，即x2·x3-x2·x4=2（b+c-a），
又x1x2x3x4=4ab
代入x2x4=x1x3-2（b+c-a）得关于x1x3的一元二次方程，即
（x1x3）2-2（b+c-a）x1x3-4ab=0
解之得x1x3=（b+c-a）+
＜(b+c-a)2+4

又S矩形=x1（x2+x3）=2a+（b+c-a）+
(b+c-a)2+4ab

=（a+b+c）+
(b+c-a)2+4ab

∴S△AEF=S矩形-S△ABE-S△CEF-S△ADF
=（a+b+c）+
(b+c-a)2+4ab
-a-b-c
=
(b+c-a)2+4ab
考点梳理
矩形的性质；三角形的面积．
在矩形ABCD中AB=DC、AD=BC，把三角形的直角边代入三角形面积公式S△=
1
2
底×高来计算△ABE、△ECF、△FDA的面积．
在矩形中，对边平行且相等，四个角都是直角．
几何综合题．
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