试题

题目：
（1998·武汉）矩形ABCD的对角线交于O点，一条边的长为1，△AOB是正三角形，则这个矩形的周长为
2+2
3
或
2
3
3
+2
2+2
3
或
2
3
3
+2
．
答案
2+2
3
或
2
3
3
+2

青果学院解：在矩形ABCD中，AC=2OB，
∵△AOB是正三角形，
∴OB=AB，
∴AC=2AB，
①AB=1时，AC=2，
根据勾股定理，BC=
AC2-AB2
=
22-12
=
3
，
所以，矩形的周长=2（AB+BC）=2（1+
3
）=2+2
3
；
②BC=1时，根据勾股定理，AB2+BC2=AC2，
所以，AB2+12=（2AB）2，
解得AB=
3
3
，
所以，矩形的周长=2（AB+BC）=2（
3
3
+1）=
2
3
3
+2；
综上所述，矩形的周长为2+2
3
或
2
3
3
+2．
故答案为：2+2
3
或
2
3
3
+2．
考点梳理
矩形的性质；等边三角形的性质．
画出图形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得AC=2OB，再根据等边三角形的三边都相等，然后求出AC=2AB，然后分①AB=1时，利用勾股定理列式求出BC，②BC=1时，利用勾股定理列式求出AB的长，再根据矩形的周长公式列式计算即可得解．
本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，等边三角形的性质，难点在于要分情况讨论．
压轴题．
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