试题

题目：
青果学院（2013·苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若
CG
GB
=
1
k
，则
AD
AB
=
k+1
2
k+1
2
用含k的代数式表示）．
答案
k+1
2

青果学院解：∵点E是边CD的中点，
∴DE=CE，
∵将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，
∴DE=EF，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，
∴CE=EF，
连接EG，
在Rt△ECG和Rt△EFG中，
EG=EG
CE=EF
，
∴Rt△ECG≌Rt△EFG（HL），
∴CG=FG，
设CG=a，∵
CG
GB
=
1
k
，
∴GB=ka，
∴BC=CG+BG=a+ka=a（k+1），
在矩形ABCD中，AD=BC=a（k+1），
∴AF=a（k+1），
AG=AF+FG=a（k+1）+a=a（k+2），
在Rt△ABG中，AB=
AG2-BG2
=
[a(k+2)]2-(ka)2
=2a
k+1
，
∴
AD
AB
=
a(k+1)
2a
k+1
=
k+1
2
．
故答案为：
k+1
2
．
考点梳理
矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
根据中点定义可得DE=CE，再根据翻折的性质可得DE=EF，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，从而得到CE=EF，连接EG，利用“HL”证明Rt△ECG和Rt△EFG全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FG，设CG=a，表示出GB，然后求出BC，再根据矩形的对边相等可得AD=BC，从而求出AF，再求出AG，然后利用勾股定理列式求出AB，再求比值即可．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，以及翻折变换的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
压轴题．
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