试题

如图，矩形ABCD中，∠DOC=60°，AB=1，AE平分∠BAD交BC于E，连接OE，下列说法错误的是（　　）
A．∠EAC=15°
B．∠BOE=75°
C．OE=EC
D．EC=

3

-1

C
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，
∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，
∴AB=BE=1，
∵∠EAC=∠BAO-∠BAE=60°-45°，
∴∠CAE=15°，（故答案A正确）
∴∠DAC=45°-15°=30°，
∠BAC=60°，
∴△BAO是等边三角形，
∴AB=OB，∠ABO=60°，
∴∠OBC=90°-60°=30°，
∵AB=OB=BE，
∴∠BOE=

1

2

（180°-30°）=75°，（故答案B正确），
假设OE=CE，则∠OEC=180°-2∠OCE=180°-60°=120°，
由四边形的内角和可知∠EOD=90°，
∴OE⊥BD，
∵AE是角平分线，
∴BE=OE，
则E必是中点，但条件没有，（故答案C错误），
∵AB=1，∠ACB=30°，
∴AC=2AC=2，
∴BC=

AC2 -AB2

=

3

，
∵AB=BE=1，
∴CE=

3

-1，（故答案D正确）
故选C．