试题

如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使C与A重合，且AB=4，AD=8．
（1）求证：AE=AF；
（2）求四边形AEFD′的面积；
（3）如果把矩形ABCD放置在平面直角坐标系中，B为坐标原点，BC在x轴下半轴上，AB在y轴正半轴上，如图所示，求点D′的坐标．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF．
∵四边形ACFD′和四边形CEFD关于EF对称，
∴四边形ACFD′≌四边形CEFD，
∴∠AEF=∠CEF，AE=CE，DF=D′F，AD′=CD，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF；
（2）设AE为x，则BE=8-x，在Rt△ABE中，由勾股定理，得
x²=（8-x）²+16，
解得：x=5．
∴BE=3，
∴CE=AF=5，
∴FD=3．D′F=3，
∴S_{四边形CEFD}=

4(3+5)

2

=16．
∵四边形ACFD′≌四边形CEFD，
∴S_{四边形ACFD′}=S_{四边形CEFD}，
∴S_{四边形AEFD′}=16；
（3）作D′G⊥AF，
∵

AD′·D′F

2

=

AF·GD′

2

，
∴

3×4

2

=

5GD′

2

，
∴GD′=

12

5

．
在Rt△AGD′，由勾股定理，得
AG=

16

5

，
∴D′（

16

5

，

12

5

）．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF．
∵四边形ACFD′和四边形CEFD关于EF对称，
∴四边形ACFD′≌四边形CEFD，
∴∠AEF=∠CEF，AE=CE，DF=D′F，AD′=CD，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF；
（2）设AE为x，则BE=8-x，在Rt△ABE中，由勾股定理，得
x²=（8-x）²+16，
解得：x=5．
∴BE=3，
∴CE=AF=5，
∴FD=3．D′F=3，
∴S_{四边形CEFD}=

4(3+5)

2

=16．
∵四边形ACFD′≌四边形CEFD，
∴S_{四边形ACFD′}=S_{四边形CEFD}，
∴S_{四边形AEFD′}=16；
（3）作D′G⊥AF，
∵

AD′·D′F

2

=

AF·GD′

2

，
∴

3×4

2

=

5GD′

2

，
∴GD′=

12

5

．
在Rt△AGD′，由勾股定理，得
AG=

16

5

，
∴D′（

16

5

，

12

5

）．