试题

题目：
如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，…，则：
（1）点P5的坐标为
(-16
2
，-16
2
)
(-16
2
，-16
2
)
；
（2）落在x轴正半轴上的点Pn坐标是
（2n，0）
（2n，0）
，其中n满足的条件是n=8k（k=0，1，2…的整数）．
青果学院
答案
(-16
2
，-16
2
)

（2n，0）

解：（1）∵点P0的坐标为（1，0），
而将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，
∴线段OP1=2，
∴P1的坐标为（
2
，
2
），
又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，
∴线段OP2=4，
∴P2的坐标为（0，4），
由此类推P3的坐标为（-4
2
，4
2
），P4的坐标为（16，0），P5的坐标为（-16
2
，-16
2
）；

（2）∵通过旋转最后落在x轴正半轴上，而每次旋转45°，
∴需要旋转360°÷45°=8次才能落在x轴正半轴上，
并且每旋转一次OP扩大一倍，
∴OPn=2n，
∴旋转到点Pn的坐标为（2n，0），其中n满足的条件是n=8k（k=0，1，2…的整数）．
考点梳理
坐标与图形变化-旋转．
（1）由于点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1=2，那么P1的坐标为（
2
，
2
），又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2=4，那么P2的坐标为（0，4），由此类推P3的坐标为（-4
2
，4
2
），P4的坐标为（16，0），P5的坐标为（-16
2
，-16
2
）；
（2）如果通过旋转最后落在x轴正半轴上，由于每次旋转45°，所以可以求出需要360°÷45°=8次才能落在x轴正半轴上，并且每旋转一次OP扩大一倍，那么旋转到点Pn的坐标可以求出了．
本题涉及图形变换--旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向逆时针，旋转角度45°，通过画图确定各点．
压轴题；规律型．
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