试题

题目：
已知：关于x的一元二次方程（m-1）x2+（m-2）x-1=0（m为实数）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若m是整数，且关于x的一元二次方程（m-1）x2+（m-2）x-1=0有两个不相等的整数根，把抛物线y=（m-1）x2+（m-2）x-1向下平移3个单位长度，求平移后的解析式．
答案
解：（1）根据题意得m-1≠0且△=（m-2）2-4（m-1）×（-1）=m2＞0，
解得m≠1且m≠0，
即m的取值范围为m≠1且m≠0；
（2）解一元二次方程（m-1）x2+（m-2）x-1=0得x=
-(m-2)±m
2(m-1)
，
∴x1=-1，x2=
1
m-1
，
∵m为m≠1且m≠0的整数，且方程有两个不相等的整数根，
∴m=2，
∴抛物线为y=x2-1，
把抛物线y=x2-1向下平移3个单位长度得y=x2-1-3，即y=x2-4．
解：（1）根据题意得m-1≠0且△=（m-2）2-4（m-1）×（-1）=m2＞0，
解得m≠1且m≠0，
即m的取值范围为m≠1且m≠0；
（2）解一元二次方程（m-1）x2+（m-2）x-1=0得x=
-(m-2)±m
2(m-1)
，
∴x1=-1，x2=
1
m-1
，
∵m为m≠1且m≠0的整数，且方程有两个不相等的整数根，
∴m=2，
∴抛物线为y=x2-1，
把抛物线y=x2-1向下平移3个单位长度得y=x2-1-3，即y=x2-4．
考点梳理
根的判别式；二次函数图象与几何变换．
（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m-1≠0且△=（m-2）2-4（m-1）×（-1）=m2＞0，然后解两个不等式可得m≠1且m≠0；
（2）利用求根公式得到x=
-(m-2)±m
2(m-1)
，则x1=-1，x2=
1
m-1
，由于m为m≠1且m≠0的整数，且方程有两个不相等的整数根，则m=2，则抛物线变形为y=x2-1，
根据抛物线的几何变换，把抛物线y=x2-1向下平移3个单位长度得y=x2-1-3．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义以及抛物线的几何变换．
计算题．
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