试题

如图1，平面直角坐标系上有一透明片，透明片上有一抛物线是一点P（2，4），且抛物线为二次函数y=（x-a）2+

a

2

的图形，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，它们的顶点在一条直线l上，如图2分别是当a=-1，a=0，a=1，a=2时二次函数的图象．
（1）直线l的解析式是y=；
（2）将此透明片上的抛物线顶点沿直线l平移后，得抛物线的顶点坐标为（6，3），若平移后的点P记为P₁，则此时P₁的坐标为；
（3）将此透明片上的抛物线顶点沿直线l平移线段OP长时，求此时的二次函数的解析式．

解：（1）当a=0时，y=x²，顶点坐标为（0，0），
当a=1时，y=（x-1）²+

1

2

，顶点坐标为（1，

1

2

），
设直线l的解析式为y=kx，
把点（1，

1

2

）代入得k=

1

2

，
所以直线l的解析式为y=

1

2

x；
（2）因为点P（2，4）在抛物线y=x²上，顶点为（6，3）的抛物线解析式为y=（x-6）²+3，
而抛物线y=x²向上平移3个单位，向右平移6个单位得到y=（x-6）²+3，
所以点P（2，4）向上平移3个单位，向右平移6个单位得到P₁的坐标为（8，7）；
故答案为

1

2

x，（8，7）；
（3）OP=

22+42

=2

5

，
设平移后点的坐标为（t，

1

2

t），
所以t²+（

1

2

t）²=（2

5

）²，解得t=±4，
则平移后点的坐标为（4，2）或（-4，-2），
所以此时的二次函数的解析式为y=（x-4）²+2或y=（x+4）²-2．